福岡県フクオカケン公立コウリツ高校コウコウ入試ニュウシ問題モンダイ　平成ヘイセイ18年ネン3月ガツ8日ニチ実施ジッシ　□6-（3）
私ワタシの解答カイトウ紹介ショウカイ
	青アオい面メンで真マっ二プタつに切キる
					どんな図形ズケイか正タダしくイメージしよう！
					わかっている情報ジョウホウは書カき込コもう！
					自分ジブンでみつけた情報ジョウホウも書カき込コもう！
	上ウエから見ミて青アオい線センでスパっと上ウエから下シタに切キる。
いろいろな方向ホウコウから見ミてみよう
より形カタチが正タダしくイメージできる。
図形ズケイは左右サユウ対称タイショウです。
辺ヘンの比率ヒリツが3：4：5
の直角チョッカク三角形サンカッケイは
辺ヘンの比ヒが整数セイスウになる
貴重キチョウな三角形サンカッケイです。
だから
問題モンダイによく
使ツカわれます。
	片側カタガワ。青アオい線センで囲カコまれた面メンは、平タイらです。
	（各辺は同一平面上にあります）
	切キった断面ダンメン
							a/2の√3倍バイ
						角カクIDP＝60°なのでaの1/2倍バイ
	今イマ、HP＝ｈ、PD＝aとおくと
	以下イカの連立レンリツ方程式ホウテイシキを得エる。
		（2√5）（2√5）＝h・ｈ　+　a・a
				式シキ1：　（△ＨＰＤに対する三平方の定理より）
		ｈ・ｈ　＝（4　-a/2）・（4　-a/2）　+　（2　+　√3a/2）・（2　+　√3a/2）
				式シキ2：　（△ＨＰＪに対する三平方の定理より）
	ｈ・ｈを2式シキから消去ショウキョして、aの二次ニジ方程式ホウテイシキを得エる（aの一乗イチジョウ項コウの無ナい形カタチの二次ニジ方程式ホウテイシキ）
	これを解トいて、ｈ＝1 + 2√3
	三角形サンカッケイEFPの面積メンセキ　＝　6　・　（1 + 2√3）　÷　2　＝　3 + 6√3　　（答コタえ）
参考サンコウ：
２つの式シキからhを求モトめる、計算ケイサン過程カテイの紹介ショウカイ
式シキ1より
ｈ・ｈ　＝　（2√5）（2√5）　-　a・a
これを式シキ2の右辺ウヘンに代入ダイニュウ（hを消去ショウキョしたので、hを最小サイショウにするときのaの長ナガさを求モトめることになります）
（2√5）（2√5）　-　a・a　＝　（4　-a/2）・（4　-a/2）　+　｛（2　+　（√3a）/2｝・｛2　+　（√3）a/2｝
20 - a・a ＝ 16 -4a +（a・a/4）+  4+ （2√3）a+ 3a・a／4
-a・a　＝　｛-4　+（2√3）｝a　+　｛1/4　+　3/4｝a・a
0　＝　2a・a　+　a｛（2√3）-4｝
0　＝　a[2a　+　｛（2√3）-4｝]
よって
a　=　0
または
a　＝　2　-√3		[2a　+　｛（2√3）-4｝]　＝0　より
となる。
a＝0のときは、点テンＰが点テンＤに重カサり、直角チョッカク3角形サンカッケイＨＰＤがなくなってしまうこと、従シタガって三平方サンヘイホウの定理テイリ
自身ジシンが有効ユウコウなのかちょっと怪アヤしい。数学的スウガクテキには特殊トクシュな状況ジョウキョウになっていると考カンガえられます。
しかし、a=0のときは、h＝2√5ですから、これはこれとしておいておきます。最後サイゴにもう一ヒトつのa
の値アタイ（a＝2-√3）のときに決キまるｈの値アタイと比較ヒカクして、どちらのｈが小チイさいのかを比クラべて確認カクニンします。
a＝2-√3の時トキ、ｈを計算ケイサンすると、
式シキ1にa＝2-√3を代入ダイニュウし
（2√5）（2√5）＝h・ｈ　+　a・a
h・h＝（2√5）（2√5）-　（2-√3）（2-√3）
h・h＝20　-　｛4　-　4√3　+　3｝
h・h＝13　+　4√3
ここでｈを求モトめたいのですが、左辺サヘンがｈの2乗ジョウだから、右辺ウヘンが何ナニかの2乗ジョウにならないかを考カンガえます。
（そのまま両辺リョウヘンのルートをとって、hをもとめてもいいのですが、ルートの中ナカにルートが入ハイっている
2重根号ができるので、中学チュウガク範囲ハンイではふさわしくない？ので触フれません）
もし右辺ウヘンが２乗ジョウであらわすことができるとすると、おそらくこんな形カタチになるはずだと想像ソウゾウできるます。
13　+　4√3　＝　（△　+　○√3）（△　+　○√3）					ここで△＝1　、○＝2とひらめくかも。
右辺ウヘンを展開テンカイして
13　+　4√3　＝　（△・△　+　3・○・○）　+　2（△・○）√3
有理数ユウリスウ部分ブブンと無理数ムリスウ部分ブブンの係数ケイスウを比較ヒカクして、
13＝（△・△　+　3・○・○）
4＝2（△・○）
4＝2（△・○）より、△＝2/○
13＝（△・△　+　3・○・○）に代入ダイニュウすると、
13＝4/（○･○）　+　3・○・○
数学スウガクらしく○・○＝Ｘをおくと
13＝4/Ｘ　+　3Ｘ
両辺リョウヘンのＸをかけて
13Ｘ＝　4　+　3・Ｘ・Ｘ
整理セイリして
3・Ｘ・Ｘ　-13Ｘ　+　4　＝　0
因数インスウ分解ブンカイすると
（3Ｘ-1）（Ｘ-4）＝0
よってＸ＝1/3　またはＸ＝2
よって○＝±2または、±1/√3
ここで○として、４つの答コタえが出デましたが、4つの○に対タイする△の値アタイを決定ケッテイし（△＝2/○）
（△　+　○√3）（△　+　○√3）に代入ダイニュウしてみると、すべての○と△の組クみ合アわせに対タイして
（1+　2√3）（1+　2√3）となります。
したがって
h・h＝（1+　2√3）（1+　2√3）
となるので
h＝1+　2√3
となります。
さて、このh＝1+　2√3を、念ネンのためa=0の時トキに求モトまっていたh＝2√5比較ヒカクしてみましょう。
｛2√5　-　（1 + 2√3）｝が正セイであれば、1+2√3のほうが短ミジカいということができます。
｛2√5 - （1 + 2√3）｝
＝｛-1 + 2（√5-√3）｝
＝｛-1 + 2（2.2360679 - 1.7320508075)｝				√3＝1.7320508075（ひとなみに、おごれやおなご）
＝｛-1 + 2（0.504017)｝				√5＝2.2360679（ふじさんろくオームなく）
＝｛-1 +1.008034｝
=0.008034
したがって、｛2√5　-　（1 + 2√3）｝が正なので、2√5より1+2√3のほうが短いということができます。
ですから、最短サイタンのｈの長ナガさは　1+2√3　、（a＝2-√3のとき）
が最終的サイシュウテキな答コタえになります。
独ヒトり言ゴト
a=0の場合バアイの状況ジョウキョウは、無視ムシしてもよいのだろうと思オモいつつも、最後サイゴに確認カクニンをしました。
しかしこの評価ヒョウカの中ナカで√3と√5の値アタイを知シらないと、しかも少数ショウスウ点テン以下イカ3桁ケタ目メまで！
評価ヒョウカできないのが弱点ジャクテンです。
小数点ショウスウテン以下イカ2桁ケタまで覚オボえていても厳キビしいのです！
ルートの値アタイをしらなくても例タトえば√3と√10の比較ヒカクのようにルートの中ナカの値アタイが整数セイスウの2乗ジョウで評価ヒョウカ
されるほど離ハナれていれば、値アタイを記憶キオクする必要ヒツヨウは無ナいのです。
√10-√3は正セイか？ときかれたら誰ダレでも正セイと答コタえられますが、その差サは整数セイスウとしていくら以上イジョウか
ときかれたら
√9（√10より小チイさい値アタイ）-√4（√3より大オオきい値アタイ）をもとめることにより、
3-2＝1以上イジョウの差サがあるといえます。
a＝0のときにｈが最小値サイショウチでないことは、図形的ズケイテキにも確認カクニンできます。
a＝0のときは、点テンＰが点テンＤに一致イッチします。
△EFPの高タカさｈは線分ＨＤの長さと等しくなり、5√2となります。
下図シタズからわかるように、角カクGHD＝角カクＩＤＨは30°より小チイさくなっています。
ですから、ＡＤとＨＤは90°より小チイさく、
APとＡＤが90°（垂直スイチョク）となる点テンＰはＤ点テン以外イガイに存在ソンザイすることがわかります。
ちょっと高校コウコウ数学スウガクにふれてみよう。
式シキ2はｈがaに依存イゾンしていること、ｈがaの関数カンスウであることを示シメしています。
ｈ・ｈ　＝（4　-a/2）・（4　-a/2）　+　（2　+　√3a/2）・（2　+　√3a/2）
整理セイリすると
ｈ・ｈ　＝20　+　2a｛（√3）-2｝　+　a・a
これを意図的イトテキに以下イカのように変形ヘンケイします。				○＝（変数ヘンスウ-定数テイスウ1）の2乗ジョウ　+　定数テイスウ2　を目指メザす
h・h　＝　[a　-　｛（√3）-2）]・[a　-　｛（√3）-2）]　+　（1+2√3）・（1+2√3）
いま　もし　a＝2-√3とすると、[a　-　｛（√3）-2）]＝0になりますから、
このとき、　h・h　＝　0（最小値サイショウチ、負フにはならない）　+　（1+2√3）・（1+2√3）　となり
h・hは最小値をとります。
このときh＝（1+2√3）　となります。					おわり